椭圆曲线算法可以看作是定义在特殊集合下数的运算，满足一定的规则。椭圆曲线在如下两个域中定义：Fp域和F2m域。
Fp域，素数域，p为素数；
F2m域：特征为2的有限域，称之为二元域或者二进制扩展域。该域中，元素的个数为2m个。
椭圆曲线标准文档如下：
1) X9.62
Public Key Cryptography For The Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)；
2) SEC 1
SEC 1:Elliptic Curve Cryptography；
3) SEC 2
SEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters；
4) NIST
(U.S.) National Institute of Standards and Technology，美国国家标准。
这些标准一般都描述了Fp域和F2m域、椭圆曲线参数、数据转换、密钥生成以及推荐了多种椭圆曲线。
一些术语说明：
1) 椭圆曲线的阶(order of a curve)
椭圆曲线所有点的个数，包含无穷远点；
2) 椭圆曲线上点的阶(order of a point)
P为椭圆曲线上的点，nP=无穷远点，n取最小整数，既是P的阶；
3) 基点(base point)
椭圆曲线参数之一，用G表示，是椭圆曲线上都一个点；
4) 余因子(cofactor)
椭圆曲线的余因子，用h表示，为椭圆曲线点的个数/基点的阶
5) 椭圆曲线参数：
素数域:
(p，a，b，G，n，h)
其中，p为素数，确定Fp，a和b确定椭圆曲线方程，G为基点，n为G的阶，h为余因子。
二进制扩展域:
(m，f(x)，a，b，G，n，h)
其中，m确定F2m，f(x)为不可约多项式，a和b用于确定椭圆曲线方程，G为基点，n为G的阶，h为余因子。
6) 椭圆曲线公钥和私钥
椭圆曲线的私钥是一个随机整数，小于n；
椭圆曲线的公钥是椭圆曲线上的一个点：Q＝私钥*G。
20.2 openssl的ECC实现Openssl实现了ECC算法。ECC算法系列包括三部分：ECC算法(crypto/ec)、椭圆曲线数字签名算法ECDSA (crypto/ecdsa)以及椭圆曲线密钥交换算法ECDH(crypto/ecdh)。
研究椭圆曲线需要注意的有：
1) 数据结构
? 椭圆曲线数据结构：EC_GROUP，该结构不仅包含各个参数，还包含了各种算法；
? 点的表示：EC_POINT，其中的大数X、Y和Z为雅克比投影坐标；
? EC_CURVE_DATA：用于内置椭圆曲线，包含了椭圆曲线的各个参数；
? 密钥结构
椭圆曲线密钥数据结构如下，定义在crypto/ec_lcl.h中，对用户是透明的。
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struct ec_key_st
{
int version;
EC_GROUP *group;
EC_POINT *pub_key;
BIGNUM *priv_key;
/* 其他项 */
}
2) 密钥生成
对照公钥和私钥的表示方法，非对称算法不同有各自的密钥生成过程。椭圆曲线的密钥生成实现在crytpo/ec/ec_key.c中。Openssl中，内置的椭圆曲线密钥生成时，首先用户需要选取一种椭圆曲线(openssl的crypto/ec_curve.c中内置实现了67种，调用EC_get_builtin_curves获取该列表)，然后根据选择的椭圆曲线计算密钥生成参数group，最后根据密钥参数group来生公私钥。
3）签名值数据结构
非对称算法不同，签名的结果表示也不一样。与DSA签名值一样，ECDSA的签名结果表示为两项。ECDSA的签名结果数据结构定义在crypto/ecdsa/ecdsa.h中，如下：
typedef struct ECDSA_SIG_st
{
BIGNUM *r;
BIGNUM *s;
} ECDSA_SIG;
4) 签名与验签
对照签名结果，研究其是如何生成的。crypto/ecdsa/ ecs_sign.c实现了签名算法，crypto/ecdsa/ ecs_vrf.c实现了验签。
5） 密钥交换
研究其密钥交换是如何进行的；crypto/ecdh/ech_ossl.c实现了密钥交换算法。
文件说明：
EC_METHOD实现
ec2_smpl.c F2m 二进制扩展域上的EC_METHOD实现；
ecp_mont.c Fp 素数域上的EC_METHOD实现，(Montgomery 蒙哥马利)
ecp_smpl.c Fp 素数域上的EC_METHOD实现；
ecp_nist.c Fp 素数域上的EC_METHOD实现；
ec2_mult.c
F2m上的乘法；
ec2_smpt.c
F2m上的压缩算法；
ec_asn1.c
asn1编解码；
ec_check.c
椭圆曲线检测；
ec_curve.c
内置的椭圆曲线，
NID_X9_62_prime_field：X9.62的素数域；
NID_X9_62_characteristic_two_field：X9.62的二进制扩展域；
NIST：美国国家标准
ec_cvt.c
给定参数生成素数域和二进制扩展域上的椭圆曲线；
ec_err.c
错误处理；
ec_key.c
椭圆曲线密钥EC_KEY函数；
ec_lib.c
通用库实现，一般会调用底层的EC_METHOD方法；
ec_mult.c
This file implements the wNAF-based interleaving multi-exponentation method乘法；
ec_print.c
数据与椭圆曲线上点的相互转化；
ectest.c
测试源码，可以参考此源码学习椭圆曲线函数。
ec.h
对外头文件；
ec_lcl.h
内部头文件，数据结构一般在此定义。
20.3 主要函数20.3.1参数设置1) int EC_POINT_set_affine_coordinates_GF2m(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point,
const BIGNUM *x, const BIGNUM *y, BN_CTX *ctx)
说明：设置二进制域椭圆曲线上点point的几何坐标；
2) int EC_POINT_set_affine_coordinates_GFp(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point,
const BIGNUM *x, const BIGNUM *y, BN_CTX *ctx)
说明：设置素数域椭圆曲线上点point的几何坐标；
3) int EC_POINT_set_compressed_coordinates_GF2m(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point,const BIGNUM *x, int y_bit, BN_CTX *ctx)
说明：二进制域椭圆曲线，给定压缩坐标x和y_bit参数，设置point的几何坐标；用于将Octet-String转化为椭圆曲线上的点；
4) int EC_POINT_set_compressed_coordinates_GFp(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point, const BIGNUM *x, int y_bit, BN_CTX *ctx)
说明：素数域椭圆曲线，给定压缩坐标x和y_bit参数，设置point的几何坐标；用于将Octet-String转化为椭圆曲线上的点；
5) int EC_POINT_set_Jprojective_coordinates_GFp(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point,
const BIGNUM *x, const BIGNUM *y, const BIGNUM *z, BN_CTX *ctx)
说明：素数域椭圆曲线group，设置点point的投影坐标系坐标x、y和z；
6) int EC_POINT_set_to_infinity(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point)
说明：将点point设为无穷远点
7) int EC_GROUP_set_curve_GF2m(EC_GROUP *group, const BIGNUM *p, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
说明：设置二进制域椭圆曲线参数；
8) int EC_GROUP_set_curve_GFp(EC_GROUP *group, const BIGNUM *p, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
说明：设置素数域椭圆曲线参数；
9) int EC_GROUP_set_generator(EC_GROUP *group, const EC_POINT *generator, const BIGNUM *order, const BIGNUM *cofactor)
说明：设置椭圆曲线的基G；generator、order和cofactor为输入参数；
10) size_t EC_GROUP_set_seed(EC_GROUP *group, const unsigned char *p, size_t len)
说明：设置椭圆曲线随机数，用于生成a和b；
11) EC_GROUP *EC_GROUP_new_curve_GF2m(const BIGNUM *p, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
说明：生成二进制域上的椭圆曲线，输入参数为p，a和b；
12) EC_GROUP *EC_GROUP_new_curve_GFp(const BIGNUM *p, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
说明：生成素数域上的椭圆曲线。
20.3.2参数获取1) const EC_POINT *EC_GROUP_get0_generator(const EC_GROUP *group)
说明：获取椭圆曲线的基(G)；
2) unsigned char *EC_GROUP_get0_seed(const EC_GROUP *group)
说明：获取椭圆曲线参数的随机数，该随机数可选，用于生成椭圆曲线参数中的a和b；
3） int EC_GROUP_get_basis_type(const EC_GROUP *group)
说明：获取二进制域多项式的类型；
4） int EC_GROUP_get_cofactor(const EC_GROUP *group, BIGNUM *cofactor, BN_CTX *ctx)
说明：获取椭圆曲线的余因子。cofactor为X9.62中定义的h，值为椭圆曲线点的个数/基点的阶，即：cofactor = #E(Fq)/n。
5） int EC_GROUP_get_curve_GF2m(const EC_GROUP *group, BIGNUM *p, BIGNUM *a, BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
说明：获取二元域椭圆曲线的三个参数，其中p可表示多项式；
6) int EC_GROUP_get_curve_GFp(const EC_GROUP *group, BIGNUM *p, BIGNUM *a, BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
说明：获取素数域椭圆曲线的三个参数；
7) int EC_GROUP_get_curve_name(const EC_GROUP *group)
说明：获取椭圆曲线名称，返回其NID；
8) int EC_GROUP_get_degree(const EC_GROUP *group)
说明：获取椭圆曲线密钥长度。对于素数域Fp来说，是大数p的长度；对二进制域F2m来说，等于m；
9) int EC_GROUP_get_order(const EC_GROUP *group, BIGNUM *order, BN_CTX *ctx)
说明：获取椭圆曲线的阶；
10) int EC_GROUP_get_pentanomial_basis(const EC_GROUP *group, unsigned int *k1,
unsigned int *k2, unsigned int *k3)
int EC_GROUP_get_trinomial_basis(const EC_GROUP *group, unsigned int *k)
说明：获取多项式参数；
11) int EC_POINT_get_affine_coordinates_GF2m(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point,BIGNUM *x, BIGNUM *y, BN_CTX *ctx)
说明：获取二进制域椭圆曲线上某个点的x和y的几何坐标；
12) int EC_POINT_get_affine_coordinates_GFp(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point, BIGNUM *x, BIGNUM *y, BN_CTX *ctx)
说明：获取素数域上椭圆曲线上某个点的x和y的几何坐标；
13) int EC_POINT_get_Jprojective_coordinates_GFp(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point,BIGNUM *x, BIGNUM *y, BIGNUM *z, BN_CTX *ctx)
说明：获取素数域椭圆曲线上某个点的x、y和z的投影坐标系坐标。
20.3.3转化函数1) EC_POINT *EC_POINT_bn2point(const EC_GROUP *group, const BIGNUM *bn,EC_POINT *point,BN_CTX *ctx)
说明：将大数转化为椭圆曲线上的点；
2) EC_POINT *EC_POINT_hex2point(const EC_GROUP *group, const char *buf,EC_POINT *point,BN_CTX *ctx)
说明：将buf中表示的十六进制数据转化为椭圆曲线上的点；
3) int BN_GF2m_poly2arr(const BIGNUM *a, unsigned int p[], int max)
说明：将大数转化为多项式的各个项；
4) int BN_GF2m_arr2poly(const unsigned int p[], BIGNUM *a)
说明：将多项式的各个项转化为大数；
5) int EC_POINT_make_affine(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point, BN_CTX *ctx)
说明：将椭圆曲线group上点的point转化为几何坐标系；
6) int EC_POINT_oct2point(const EC_GROUP *group, EC_POINT *point,
const unsigned char *buf, size_t len, BN_CTX *ctx)
说明：将buf中点数据转化为椭圆曲线上的点，len为数据长度；
7) BIGNUM *EC_POINT_point2bn(const EC_GROUP *group,const EC_POINT *point, point_conversion_form_t form,BIGNUM *ret,BN_CTX *ctx)
说明：将椭圆曲线上的点转化为大数，其中from为压缩方式，可以是POINT_CONVERSION_COMPRESSED、POINT_CONVERSION_UNCOMPRESSED或POINT_CONVERSION_HYBRID，可参考x9.62；
8) char *EC_POINT_point2hex(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point, point_conversion_form_t form,BN_CTX *ctx)
说明：将椭圆曲线上的点转化为十六进制，并返回该结果；
9) size_t EC_POINT_point2oct(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point, point_conversion_form_t form,unsigned char *buf, size_t len, BN_CTX *ctx)
说明：将椭圆曲线上的点转化为Octet-String，可分两次调用，用法见EC_POINT_point2bn的实现。
20.3.4其他函数1) size_t EC_get_builtin_curves(EC_builtin_curve *r, size_t nitems)
文件：ec_curve.c
说明：获取内置的椭圆曲线。当输入参数r为NULL或者nitems为0时，返回内置椭圆曲线的个数，否则将各个椭圆曲线信息存放在r中。
示例：
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#include <openssl/ec.h>
int main()
{
EC_builtin_curve *curves = NULL;
size_t crv_len = 0, n = 0;
int nid,ret;
EC_GROUP *group = NULL;
crv_len = EC_get_builtin_curves(NULL, 0);
curves = OPENSSL_malloc(sizeof(EC_builtin_curve) * crv_len);
EC_get_builtin_curves(curves, crv_len);
for (n=0;n<crv_len;n++)
{
nid = curves[n].nid;
group=NULL;
group = EC_GROUP_new_by_curve_name(nid);
ret=EC_GROUP_check(group,NULL);
}
OPENSSL_free(curves);
return 0;
}
2) const EC_METHOD *EC_GF2m_simple_method(void)
说明：返回二进制域上的方法集EC_METHOD
3） const EC_METHOD *EC_GFp_mont_method(void)
const EC_METHOD *EC_GFp_nist_method(void)
const EC_METHOD *EC_GFp_simple_method(void)
返回素数域上的方法集EC_METHOD
4） int EC_GROUP_check(const EC_GROUP *group, BN_CTX *ctx)
说明：检查椭圆曲线，成功返回1。
5） int EC_GROUP_check_discriminant(const EC_GROUP *group, BN_CTX *ctx)
说明：检查椭圆曲线表达式。对于素数域的椭圆曲线来说，该函数会调用ec_GFp_simple_group_check_discriminant函数，主要检查4*a^3 + 27*b^2 != 0 (mod p)。而对于二进制域的椭圆曲线，会调用ec_GF2m_simple_group_check_discriminant, 检查y^2 + x*y = x^3 + a*x^2 + b 是否是一个椭圆曲线并且 b !=0。
6） int EC_GROUP_cmp(const EC_GROUP *a, const EC_GROUP *b, BN_CTX *ctx)
说明：通过比较各个参数来确定两个椭圆曲线是否相等；
7） int EC_GROUP_copy(EC_GROUP *dest, const EC_GROUP *src)
EC_GROUP *EC_GROUP_dup(const EC_GROUP *a)
说明：椭圆曲线拷贝函数；
9） EC_GROUP *EC_GROUP_new_by_curve_name(int nid)
说明：根据NID获取内置的椭圆曲线；
10) int EC_KEY_check_key(const EC_KEY *eckey)
说明：检查椭圆曲线密钥；
11) int EC_KEY_generate_key(EC_KEY *eckey)
说明：生成椭圆曲线公私钥；
12) int EC_KEY_print(BIO *bp, const EC_KEY *x, int off)
说明：将椭圆曲线密钥信息输出到bio中，off为缩进量；
13) int EC_POINT_add(const EC_GROUP *group, EC_POINT *r, const EC_POINT *a, const EC_POINT *b, BN_CTX *ctx)
说明：椭圆曲线上点的加法；
14) int EC_POINT_invert(const EC_GROUP *group, EC_POINT *a, BN_CTX *ctx)
说明：求椭圆曲线上某点a的逆元，a既是输入参数，也是输出参数；
15) int EC_POINT_is_at_infinity(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point)
说明：判断椭圆曲线上的点point是否是无穷远点；
16) int EC_POINT_is_on_curve(const EC_GROUP *group, const EC_POINT *point, BN_CTX *ctx)
说明：判断一个点point是否在椭圆曲线上；
17) int ECDSA_size
说明：获取ECC密钥大小字节数。
18）ECDSA_sign
说明：签名，返回1表示成功。
19）ECDSA_verify
说明：验签，返回1表示合法。
20）EC_KEY_get0_public_key
说明：获取公钥。
21）EC_KEY_get0_private_key
说明：获取私钥。
22）ECDH_compute_key
说明：生成共享密钥
23）EC_KEY *d2i_ECPrivateKey(EC_KEY **a, const unsigned char **in, long len)
说明：DER解码将椭圆曲线密钥；
24）int i2d_ECPrivateKey(EC_KEY *a, unsigned char **out)
说明：将椭圆曲线密钥DER编码；
20.4 编程示例下面的例子生成两对ECC密钥，并用它做签名和验签，并生成共享密钥。
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#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <openssl/ec.h>
#include <openssl/ecdsa.h>
#include <openssl/objects.h>
#include <openssl/err.h>
int main()
{
EC_KEY *key1,*key2;
EC_POINT *pubkey1,*pubkey2;
EC_GROUP *group1,*group2;
int ret,nid,size,i,sig_len;
unsigned char *signature,digest[20];
BIO *berr;
EC_builtin_curve *curves;
int crv_len;
char shareKey1[128],shareKey2[128];
int len1,len2;
/* 构造EC_KEY数据结构 */
key1=EC_KEY_new();
if(key1==NULL)
{
printf("EC_KEY_new err!\n");
return -1;
}
key2=EC_KEY_new();
if(key2==NULL)
{
printf("EC_KEY_new err!\n");
return -1;
}
/* 获取实现的椭圆曲线个数 */
crv_len = EC_get_builtin_curves(NULL, 0);
curves = (EC_builtin_curve *)malloc(sizeof(EC_builtin_curve) * crv_len);
/* 获取椭圆曲线列表 */
EC_get_builtin_curves(curves, crv_len);
/*
nid=curves[0].nid;会有错误，原因是密钥太短
*/
/* 选取一种椭圆曲线 */
nid=curves[25].nid;
/* 根据选择的椭圆曲线生成密钥参数group */
group1=EC_GROUP_new_by_curve_name(nid);
if(group1==NULL)
{
printf("EC_GROUP_new_by_curve_name err!\n");
return -1;
}
group2=EC_GROUP_new_by_curve_name(nid);
if(group1==NULL)
{
printf("EC_GROUP_new_by_curve_name err!\n");
return -1;
}
/* 设置密钥参数 */
ret=EC_KEY_set_group(key1,group1);
if(ret!=1)
{
printf("EC_KEY_set_group err.\n");
return -1;
}
ret=EC_KEY_set_group(key2,group2);
if(ret!=1)
{
printf("EC_KEY_set_group err.\n");
return -1;
}
/* 生成密钥 */
ret=EC_KEY_generate_key(key1);
if(ret!=1)
{
printf("EC_KEY_generate_key err.\n");
return -1;
}
ret=EC_KEY_generate_key(key2);
if(ret!=1)
{
printf("EC_KEY_generate_key err.\n");
return -1;
}
/* 检查密钥 */
ret=EC_KEY_check_key(key1);
if(ret!=1)
{
printf("check key err.\n");
return -1;
}
/* 获取密钥大小 */
size=ECDSA_size(key1);
printf("size %d \n",size);
for(i=0;i<20;i++)
memset(&digest[i],i+1,1);
signature=malloc(size);
ERR_load_crypto_strings();
berr=BIO_new(BIO_s_file());
BIO_set_fp(berr,stdout,BIO_NOCLOSE);
/* 签名数据，本例未做摘要，可将digest中的数据看作是sha1摘要结果 */
ret=ECDSA_sign(0,digest,20,signature,&sig_len,key1);
if(ret!=1)
{
ERR_print_errors(berr);
printf("sign err!\n");
return -1;
}
/* 验证签名 */
ret=ECDSA_verify(0,digest,20,signature,sig_len,key1);
if(ret!=1)
{
ERR_print_errors(berr);
printf("ECDSA_verify err!\n");
return -1;
}
/* 获取对方公钥，不能直接引用 */
pubkey2 = EC_KEY_get0_public_key(key2);
/* 生成一方的共享密钥 */
len1=ECDH_compute_key(shareKey1, 128, pubkey2, key1, NULL);
pubkey1 = EC_KEY_get0_public_key(key1);
/* 生成另一方共享密钥 */
len2=ECDH_compute_key(shareKey2, 128, pubkey1, key2, NULL);
if(len1!=len2)
{
printf("err\n");
}
else
{
ret=memcmp(shareKey1,shareKey2,len1);
if(ret==0)
printf("生成共享密钥成功\n");
else
printf("生成共享密钥失败\n");
}
printf("test ok!\n");
BIO_free(berr);
EC_KEY_free(key1);
EC_KEY_free(key2);
free(signature);
free(curves);
return 0;
}
更多底层函数的使用示例可参考ec/ectest.c，特别是用户自行定义椭圆曲线参数。
转自:
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